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建设银行不发送短信通知可能有多种原因，以下是一些常见的原因和解决方法。
1、账户资金变动未达到短信提醒的起点金额，对于不同的账户类型，建设银行可能会设置不同的短信提醒起点金额，如果账户资金变动的金额小于该起点金额，则不会发送短信通知，可以修改账户设置，提高短信提醒的起点金额。
2、短信通知服务欠费或账户余额不足，如果短信通知服务欠费或账户余额不足以支付短信费用，则可能暂停短信通知服务，可以检查账户余额，确保账户有足够的余额支付短信费用。
3、手机号码更改或错误，如果手机号码更改或输入错误，可能导致无法接收到短信通知，可以检查并确保在建设银行预留的手机号码是准确的，并更新相关信息。
4、网络问题或信号不好，如果手机处于无网络状态或信号不好，也可能无法正常接收短信通知，可以检查手机网络状态并确保信号良好。
5、短信被拦截或屏蔽，有时候手机的安全软件或运营商可能会将部分短信误判为垃圾短信而拦截或屏蔽，可以检查手机的安全软件设置和短信拦截记录，确保没有被误判为垃圾短信的短信被拦截或屏蔽。
6、银行系统维护或故障，在某些情况下，银行系统可能正在进行维护或出现故障，导致无法正常发送短信通知，可以稍后再试，或者联系银行客服了解相关情况。
如果以上方法都无法解决问题，建议联系建设银行客服咨询具体情况并寻求帮助。